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傅里叶变换及其性质

傅里叶变换及其性质

的有关信息介绍如下:

傅里叶变换及其性质

对函数x(t)进行如下积分,并记为X(ω):

地球物理数据处理基础

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其中 这称为傅里叶正变换,X(ω)是x(t)的傅里叶变换。利用X(ω)可以重构信号函数x(t),即

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称为傅里叶反变换。两式组成一个傅里叶变换对。若t代表空间坐标变量,则ω就代表空间频率域的频率变量,因此称X(ω)为x(t)的频谱函数。

傅里叶变换的性质:设f(x),g(x)的傅里叶变换分别是F(ξ),G(ξ),那么

(1)线性 af(x)+bg(x)的傅里叶变换是aF(ξ)+bG(ξ)(a,b是常数);

(2)褶积(或卷积)f(x)*g(x)=∫-∞f(u)g(x-u)du的傅里叶变换是F(ξ)·G(ξ);

(3)翻转 f(-x)的傅里叶变换是F(-ξ);

(4)共轭 的傅里叶变换是

(5)时移(延迟) f(x-x0)的傅里叶变换是eix0ξF(ξ);

(6)频移(调频) F(ξ-ξ0)是f(x)e-iξ0x的傅里叶变换(ξ0是常数)。

上面的定义都是连续型傅里叶变换,然而在地球物理实际计算中都是离散型数据,因此我们感兴趣的是数据是离散的情况,需要将上述傅里叶变换化为有限离散傅里叶变换对:

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其中N是数据点数。两个公式除了系数和指数的符号不同外,结构基本相同,式(8-3)为离散傅里叶变换(DFT),式(8-4)为离散傅里叶反变换(IDFT)。